普利姆算法
应用场景和问题：
1 有胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通。
2 各个村庄的距离用边线表示(权)，比如A - B 距离 5 公里。
3 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？
思路：
将10条边，链接即可，但是总的里程数不是最小。
正确的思路：
就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。
最小生成树
修路问题本质就是最小生成树问题，先介绍一下何为最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
1 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
2 N个顶点，一定有N-1条边
3 包含全部顶点
4 N-1条边都在图中
5 举例说明(如图)
6 求最小生成树的算法主要是==普利姆算法==和==克鲁斯卡尔算法==
普利姆算法介绍
1 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的==极小连通子图==
2 普利姆的算法如下：
- 设G=(V,E)是连通网。T=(U,D)是最小生成树。V,U是顶点集合。E,D是边的集合。
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边(ui,vj)加入集合D中，标记visited[vj] = 1
- 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
- ==提示==：单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解。
普利姆算法图解
上面的文字描述很难理解，下面是图解分析
代码实现
@SuppressWarnings("all")
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int vertx = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示，10000这个大数，表示两个点不连通
int[][] weight = {{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}};
//创建MGraph对象
MGraph mGraph = new MGraph(vertx);
//创建一个MiniTree对象
MiniTree minTree = new MiniTree();
minTree.createGraph(mGraph, vertx, data, weight);
//输出
minTree.showGraph(mGraph);
//测试普利姆算法
minTree.prim(mGraph,0);
}
}
//创建最小生成树
@SuppressWarnings("all")
class MiniTree {
/**
* 创建图的邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
* @param vertx 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int vertx, char[] data, int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < vertx; i++) {//顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < vertx; j++)
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*
* @param graph
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] itemp : graph.weight)
System.out.println(Arrays.toString(itemp));
}
/**
* 编写prim算法，得到最小生成树
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成 'A' -> 0 , 'B' -> 1 ...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
//标记节点(顶点)是否被访问过
int[] visited = new int[graph.vertx];
//visited[] 默认元素的值都是0，表示没有访问过,Java中默认为0所以不能特意进行次操作
//for(int i = 0;i < graph.vertx;i ++)
//visited[i] = 0;
//把当前节点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1,h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
//将miniweight初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
int miniWeight = 10000;
//因为有graph.vertx顶点，普利姆算法结束后，有graph.vertx - 1 边
for (int k = 1; k < graph.vertx; k++) {
//遍历当前顶点可连通的所有的顶点
//确定每一次生成的子图，和哪个节点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.vertx; i++)//i节点表示被访问过的节点
for (int j = 0; j < graph.vertx; j++)//j节点表示没有被访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < miniWeight) {
//替换miniweight(寻找已经访问过的节点和为访问过的节点间的权值最小的边)
miniWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
//找到一条边是最小
System.out.println("边 <" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值: " + miniWeight);
//将当前这个节点标记为已访问过
visited[h2] = 1;
//将 miniWeight 重新设置为 最大值
miniWeight = 10000;
}
}
}
@SuppressWarnings("all")
class MGraph {
int vertx;//表示图的节点个数
char[] data;//存放节点数据
int[][] weight;//存放边，就是邻接矩阵
public MGraph(int vertx) {
this.vertx = vertx;
data = new char[vertx];
weight = new int[vertx][vertx];
}
}
结果：
[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边 <A,G> 权值: 2
边 <G,B> 权值: 3
边 <G,E> 权值: 4
边 <E,F> 权值: 5
边 <F,D> 权值: 4
边 <A,C> 权值: 7
文档信息
- 本文作者：Dkx
- 本文链接：https://pigpigletsgo.github.io/dou_note.github.io/2023/12/29/pulimusuanfa/
- 版权声明：自由转载-非商用-非衍生-保持署名（创意共享3.0许可证）